Construction d'un octogone et d'un dodécagone réguliers

L'octogone et le dodécagone réguliers peuvent s'obtenir à partir, respectivement, d'un carré et d'un hexagone régulier.

Partie A : un carré

Voici un protocole de construction :
« Tracer un segment \(\text{[AC]}\) et \(\text{O}\) son milieu.
Tracer le cercle \(\mathcal C\) de centre \(\text{O}\) passant par \(\text{A}\) (il passe donc par \(\text{C}\) aussi).
Tracer la médiatrice de\(\text{ [AC]}\). On appelle \(\text{B}\) et \(\text{D}\) les points d'intersection de\(\text{ [AC]}\) et du cercle \(\mathcal{C}\). Relier les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\). »

1. Mettre en œuvre le protocole et tracer le quadrilatère \(\text{ABCD}\).
2. Démontrer que \(\text{ABCD}\) est un carré.

Partie B : un octogone régulier

À partir du carré tracé dans la partie A.

1. Tracer la médiatrice du segment \(\text{[AB]}\), nommer \(\text{E}\) et \(\text{G}\) les points d'intersection avec le cercle \(\mathcal C\). 
2. Tracer la médiatrice du segment \(\text{[BC]}\), nommer \(\text{F}\) et \(\text{H}\) les points d'intersection avec le cercle \(\mathcal C\). 
3. Démontrer que \(\text{EFGH}\) est un carré. Préciser l'angle de la rotation de centre \(\text{O}\) qui transforme \(\text{ABCD}\) en \(\text{EFGH}\).
4. Démontrer que les \(8\) points qui ont été construits sur le cercle \(\mathcal C\) sont les sommets d'un polygone régulier : un octogone régulier. 

Partie C : le dodécagone régulier et au-delà !

1. En exploitant la démarche utilisée pour construire l'octogone régulier de la partie B, rédiger un protocole de construction pour un dodécagone régulier, polygone régulier à \(12\) côtés. On pourra commencer par tracer un hexagone régulier.
2. Soit \(k\) un nombre entier naturel. Expliquer pourquoi il est possible de construire à l'aide d'une règle et d'un compas tout polygone ayant \(4\times 2^k\) côtés et tout polygone ayant \(3\times 2^k\) côtés.